Signaux aléatoires

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Probabilité imapct sur cible

Variables aléatoires discrètes

Extrait des propriétés importantes pour les probabilités

Si \( X \) est une variable aléatoire discrète, son espérance mathématique est donnée par :

\( \mathbb{E}(X) = \sum_{k} x_k p_k \)

C'est-à-dire la somme pondérée des valeurs \( x_k \) et de leurs probabilités associées \( p_k \).

Prenons l'exemple d'un jet de dé à 6 faces. L'espérance mathématique est :

\( \mathbb{E}(X) = \sum_{k=1}^{6} k \cdot \frac{1}{6} = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \)

L'espérance est le moment d'ordre 1

La variance est le moment d'ordre 2

La loi de Benroulli c'est pour ce qui prend uniquement les valeurs 0 ou 1 (appellé ausis loi binaire)

\( C^k_n \) représente le nombre de combinaisons de \( k \) éléments parmi \( n \), c'est-à-dire le nombre de façons de choisir \( k \) éléments distincts dans une séquence de \( n \) éléments.

Mathématiquement, cela s'exprime par :

\( C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Cela représente donc le nombre de façons de choisir \( k \) éléments sans tenir compte de l'ordre parmi \( n \) éléments.

Exercice Variables aléatoires

A.1 : Variable aléatoire

Soit une variable aléatoire \( X \) ayant une densité de probabilité \( f_X(x) \) donnée par \( f_X(x) = c e^{-a x} \).

1. Donner la relation entre \( c \) et \( a \) (dans la suite, on supposera que \( a = 1 \)).

On sait que \( f_X(x) = c e^{-a x} \) et que \( \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \, dx = 1 \).

\(\int_0^{+\infty} f(x) \, dx = \frac{1}{2} = \int_0^{+\infty} c e^{-x} \, dx = c \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = c \left[ -e^{-x} \right]_0^{+\infty} = c\), donc \(c = \frac{1}{2}\) et \( f(x) = \frac{e^{-x}}{2} \).

2. Donner l'allure de la densité de probabilité \( f_X(x) \).

3. Donner l'allure de la fonction de répartition \( F_X(x) \).

Si \( x \leq 0 \), alors \( f(x) = \frac{1}{2} e^{-(-x)} = \frac{1}{2} e^{x} \), donc \( F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} e^{t} \, dt = \frac{1}{2} e^{x} \).

Si \( x \geq 0 \), alors \( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt = \int_{-\infty}^{0} f(t) \, dt + \int_{0}^{x} f(t) \, dt \).

\( F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \int_0^x e^{-t} \, dt = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left[ -e^{-t} \right]_0^x \).

\( F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( -e^{-x} + 1 \right) = 1 - \frac{1}{2} e^{-x} \).

Nous avons donc : \[ F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^x & \text{si } x \leq 0 \\ 1 - \frac{1}{2} e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]

4. Donner l'espérance de \( X \), la variance et l'écart type de \( X \).

Pour calculer \( \mathbb{E}[X^2] \), nous devons intégrer \( \int_0^{+\infty} x^2 \frac{1}{2} e^{-x} \, dx \).

Utilisons l'intégration par parties avec \( u = x^2 \) et \( dv = \frac{1}{2} e^{-x} \, dx \). Ainsi : \[ du = 2x \, dx \quad \text{et} \quad v = -\frac{1}{2} e^{-x} \]

En appliquant la formule de l'intégration par parties \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \), nous obtenons : \[ \int_0^{+\infty} x^2 \frac{1}{2} e^{-x} \, dx = \left[ -\frac{1}{2} x^2 e^{-x} \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} x \left( -\frac{1}{2} e^{-x} \right) dx \]

Le terme \( \left[ -\frac{1}{2} x^2 e^{-x} \right]_0^{+\infty} \) tend vers 0 car \( e^{-x} \) décroît rapidement et annule \( x^2 \) lorsque \( x \to +\infty \). Il reste donc : \[ \int_0^{+\infty} x \frac{1}{2} e^{-x} \, dx \]

Utilisons une nouvelle intégration par parties avec \( u = x \) et \( dv = \frac{1}{2} e^{-x} \, dx \), ce qui nous donne : \[ du = dx \quad \text{et} \quad v = -\frac{1}{2} e^{-x} \]

En appliquant l'intégration par parties, nous avons : \[ \int_0^{+\infty} x \frac{1}{2} e^{-x} \, dx = \left[ -\frac{1}{2} x e^{-x} \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-x} \, dx \]

Le terme \( \left[ -\frac{1}{2} x e^{-x} \right]_0^{+\infty} \) tend également vers 0, donc il reste : \[ \int_0^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-x} \, dx = \frac{1}{2} \left[ -e^{-x} \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{2} \]

En réassemblant les résultats des deux intégrations par parties, nous avons les contributions suivantes : \[ \int_0^{+\infty} x^2 \frac{1}{2} e^{-x} \, dx = \frac{1}{2} \times \left(1 + 1\right) = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \]

Cependant, ce résultat est pour l'intégrale de \( x^2 e^{-x} \), mais notre intégrale initiale avait un facteur multiplicatif de \( \frac{1}{2} \). Ainsi, en considérant ce facteur multiplicatif, nous obtenons : \[ \mathbb{E}[X^2] = 2 \]

A.2 : Variance

Soit une variable aléatoire X

1. Rappeller la définition de la variance d'une variable aléatoire

A.3 : Loi uniforme

Soit X une variable aléatoire réelle équivalente entre a et b (a < b)

1. Tracer sa densité de probabilité

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1 = \int_a^b A \, dx = 1 \quad \text{donc} \quad [A x]_a^b = A(b - a) = 1 \quad \text{donc} \quad A = \frac{1}{b - a} \]

La densité de probabilité d'une loi uniforme sur l'intervalle \([a, b]\) est donnée par : \[ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } a \leq x \leq b, \\ 0 & \text{sinon}. \end{cases} \]

2. Tracer sa fonction de répartition

\( x \leq a \), \( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt = 0 \)

\( a \leq x \leq b \), \( F(x) = \int_a^x \frac{1}{b-a} \, dt = \frac{1}{b-a} [t]_a^x = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}x - \frac{a}{b-a} \)

\( x \geq b \), \( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt = \int_a^b f(t) \, dt = 1 \)

La fonction de répartition \( F_X(x) \) d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme est définie comme : \[ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < a, \\ \frac{x - a}{b - a} & \text{si } a \leq x \leq b, \\ 1 & \text{si } x > b. \end{cases} \]

3. Calculer E(X)

\( \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx = \int_a^b x f(x) \, dx = \frac{1}{b - a} \int_a^b x \, dx = \frac{1}{b - a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2(b - a)} = \frac{(b - a)(b + a)}{2(b - a)} = \frac{b + a}{2} = \mathbb{E}[X] \)

4. Calculer V(X)

\( V[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \) avec \( \mathbb{E}[X] = \frac{a + b}{2} \), on a donc \( \mathbb{E}[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx = \frac{1}{b - a} \int_a^b x^2 \, dx = \frac{1}{b - a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} = \mathbb{E}[X^2] \)

\( V[X] = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} - \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{4(b^3 - a^3) - 3(b - a)(a + b)^2}{12(b - a)} \)

Exercice Processus stochastiques

On considère la fonction aléatoire \( X(t) = g(t, A) \), où \( g \) est une fonction connue quelconque et \( A \) est une variable aléatoire de densité de probabilité \( f_A(a) \) connue.

1. Donner l'expression de \( m_X(t) \), de \( \Gamma_X(t, t') \) et de \( \sigma_X^2(t) \).

\( \mathbb{E}[X(t)] = \mathbb{E}[g(t, A)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t, a) f_A(a) \, da = m_X(t) = \mathbb{E}[g(t, A)] \)

\( \Gamma_X(t, t') = \mathbb{E}[X(t) X(t')] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t, a) g(t', a) f_A(a) \, da \)

\( \sigma_X^2(t) = \Gamma_X(t, t') - (m_X(t))^2 = V(X(t)) = \mathbb{E}[(X(t))^2] - (\mathbb{E}[X(t)])^2 \)

\( = \mathbb{E}[(X(t) - \mathbb{E}[X(t)])^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} (g(t, a))^2 f_A(a) \, da \)

2. Appliquer ce résultat à \( X(t) = a \sin(\omega t + \psi) \) et \( Y(t) = a \cos(\omega t + \psi) \), où \( \psi \) est une variable aléatoire uniformément répartie sur \( [0, 2\pi] \) (et \( a \) et \( \omega \) sont certains).

Correction de l'exercice : \( g(t, A) = \alpha \cos(\omega t + A) \)

\( \mathbb{E}[X(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \alpha \cos(\omega t + a) f_A(a) \, da \)

\( \mathbb{E}[X(t)] = \int_{0}^{2\pi} \alpha \cos(\omega t + a) \cdot \frac{1}{2\pi} \, da \)

\( \mathbb{E}[X(t)] = \frac{\alpha}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \cos(\omega t + a) \, da = 0 \) (intégration sur une période, donc ne dépend pas du temps)

Stationnaire au premier ordre

\( \Gamma_X(t, t') = \int_{-\infty}^{+\infty} \sin(\omega t + a) \cdot \alpha \sin(\omega t' + a) f_A(a) \, da \)

\( \Gamma_X(t, t') = \frac{\alpha^2}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \sin(\omega t + a) \sin(\omega t' + a) \, da \)

Utilisation de la formule produit : \( \sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2} \left[ \cos(A - B) - \cos(A + B) \right] \)

\( \Gamma_X(t, t') = \frac{\alpha^2}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \left[ \cos(\omega(t - t')) - \cos(\omega(t + t') + 2a) \right] \, da \)

\( \Gamma_X(t, t') = \frac{\alpha^2}{2\pi} \left( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \cos(\omega(t - t')) \, da - \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \cos(\omega(t + t') + 2a) \, da \right) \)

Comme \( 2a \) correspond à deux périodes, cela vaut 0, donc :

\( \Gamma_X(t, t') = \frac{\alpha^2}{2\pi} \left( \frac{1}{2} \cos(\omega(t - t')) \int_{0}^{2\pi} 1 \, da - 0 \right) \)

L'intégrale \( \int_{0}^{2\pi} 1 \, da = 2\pi \), et comme \( \frac{1}{2} \cos(\omega(t - t')) \) ne dépend pas de \( a \), il peut sortir de l'intégrale. Donc :

\( \Gamma_X(t, t') = \frac{\alpha^2}{2\pi} \cdot \frac{1}{2} \cos(\omega(t - t')) \cdot 2\pi \)

Finalement, en simplifiant : \( \Gamma_X(t, t') = \frac{\alpha^2}{2} \cos(\omega(t - t')) \)

L'écart de temps \( t - t' \) montre une stationnarité au second ordre. En définissant \( \tau = t - t' \), nous avons :

\( \Gamma_X(t, t') = \Gamma_X(\tau) = \frac{\alpha^2}{2} \cos(\omega \tau) \)

3. Déterminer aussi \( \Gamma_{XY}(t, t') \).

B.2 : Processus aléatoires

\( X(t) \) est une fonction aléatoire dont \( m_X(t) \) et \( \Gamma_X(t_1, t_2) \) sont donnés. Soit \( Y(t) = X(t) \cos(\omega t + \psi) \), où \( \omega \) est certain. Déterminez \( m_Y(t) \), \( \Gamma_{XY}(t_1, t_2) \), et \( \Gamma_Y(t_1, t_2) \).

1. lorsque \( \psi \) est donnée.

\( \mathbb{E}[Y(t)] = m_Y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cos(\omega t + \psi) f(x, t) \, dx \)

\( = \cos(\omega t + \psi) \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x, t) \, dx \)

\( = m_X(t) \cos(\omega t + \psi) \)

\( \Gamma_{XY}(t_1, t_2) = \Gamma_X(t_1, t_2) \cos(\omega t_2 + \psi) \)

L'autocorrélation de \( Y(t) \) est donnée par :

\( \Gamma_Y(t_1, t_2) = \Gamma_X(t_1, t_2) \cos(\omega t_1 + \psi) \cos(\omega t_2 + \psi) \)

2. lorsque \( \psi \) est une variable aléatoire uniformément répartie sur \( [0, 2\pi[ \), indépendante de \( X(t) \).

\( \mathbb{E}[Y(t)] = \mathbb{E}[X(t) \cos(\omega t + \psi)] = \mathbb{E}[X(t)] \mathbb{E}[\cos(\omega t + \psi)] \)

\( \mathbb{E}[Y(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{2\pi} \cos(\omega t + \psi) f(x, t) f_\psi(\psi) \, dx \, d\psi \)

\( \mathbb{E}[Y(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{2\pi} x \cos(\omega t + \psi) f(x, t) \frac{1}{2\pi} \, dx \, d\psi \)

On assemble les variables aléatoires en deux intégrales (avec \( x \) et \( f(x,t) \) d'une part, et \( \omega t \) dans le cosinus avec \( \frac{1}{2\pi} \) d'autre part) :

\( \mathbb{E}[Y(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x,t) \, dx \cdot \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \cos(\omega t + \psi) \, d\psi \)

Le premier terme \( \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x,t) \, dx = \mathbb{E}[X(t)] \), et le second terme \( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \cos(\omega t + \psi) \, d\psi = 0 \) (car l'intégrale du cosinus sur une période est nulle). Ainsi :

\( \mathbb{E}[Y(t)] = \mathbb{E}[X(t)] \cdot 0 = 0 \)

C.1 : Séquence aléatoire binaire

Soit une séquence aléatoire binaire \( B(n) \) à valeurs indépendantes, dont chaque élément peut prendre les valeurs \( a \) avec la probabilité \( p \) et la valeur \( b \) avec la probabilité \( q \).

1. Donner la relation entre \( p \) et \( q \).

La relation entre p et q est : p+q =1 donc q=1-p.

2. Déterminer la loi de probabilité des éléments d’une telle séquence.

La loi de probabilité des éléments d'une telle séquence est donnée par :

P(B(n)=a) = p et P(B(n) = b ) = q = 1-p

3. Déterminer la moyenne statistique \( \mathbb{E}(B(n)) \).

Pour tout \( n \), \( \forall n \):

\( \mathbb{E}(B(n)) = \sum b_k p_k = a \cdot \text{Prob}(B(n) = a) + b \cdot \text{Prob}(B(n) = b) \)

\( \mathbb{E}(B(n)) = p \cdot a + q \cdot b = p \cdot a + (1 - p) \cdot b \)

4. Déterminer la séquence de corrélation \( \Gamma_B(n, n') \) et la covariance \( C_B(n, n') \).

Si n#n'

\( \Gamma_B(n, n') = \mathbb{E}[B(n)] \cdot \mathbb{E}[B(n')] = (p \cdot a + q \cdot b)^2 \)

\( = \mathbb{E}[B(n)] \cdot \mathbb{E}[B(n')] \)

\( C_B(n, n') = \Gamma_B(n, n') - \mathbb{E}[B(n)] \cdot \mathbb{E}[B(n')] \)

L'autocorrélation \( \Gamma_B(n, n') \) est donnée par :

\( \Gamma_B(n, n') = \begin{cases} (p \cdot a + q \cdot b)^2 & \text{si} \, n \neq n' \\ a^2 \cdot p + b^2 \cdot q & \text{si} \, n = n' \end{cases} \)

5. Application numérique : \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( p = \frac{1}{2} \)

L'espérance de \( B(n) \) est :

\( \mathbb{E}[B(n)] = p \cdot a + (1 - p) \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} \)

L'autocorrélation \( \Gamma_B(n, n') \) est donnée par :

\( \Gamma_B(n, n') = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{si} \, n = n' \\ \frac{1}{4} & \text{si} \, n \neq n' \end{cases} \)

C.2 : Séquence aléatoire complexe

Soit la séquence aléatoire à valeurs complexes \( X(n) = A e^{-j \omega n} \), où \( A \) est une variable aléatoire complexe et \( \omega \) est certaine.

1. Déterminer l'expression de l'espérance mathématique \( \mathbb{E}[X(n)] \).

2. Que devient cette espérance \( \mathbb{E}[X(n)] \) lorsque le module de \( A \) est constant et que l'argument de \( A \) est équiréparti sur \( [0, 2\pi[ \).

3. Dans ce dernier cas, donner la séquence de corrélation \( \Gamma_X(n, n') \).

C.3 : Processus AR

Soit une séquence aléatoire à valeurs réelles \( X(n) \), générée par le système :

\( X(n) = a X(n - 1) + W(n), \quad n \geq 0, \quad X(-1) = 0 \)

où \( W(n) \) est une séquence aléatoire stationnaire de moyenne \( m_W \) et de séquence de corrélation \( \Gamma_W(l) = \sigma_W^2 \delta(l) \) (bruit blanc). \( a \) est un coefficient réel constant quelconque. Déterminer la moyenne statistique \( \mathbb{E}[X(n)] \) et la corrélation \( \Gamma_X(n, n') \).

La séquence est-elle stationnaire ?