TP1 Générateurs

1. Générer un vecteur de valeurs prises par une variable aléatoire de loi uniforme (valeurs équiréparties entre 0 et 10) (utiliser la fonction rand). Visualiser plusieurs réalisations de la variable aléatoire. Calculer la moyenne et la variance de la variable aléatoire. Comparer avec la théorie. Tracer l'histogramme.
2. Même question pour une variable aléatoire de Bernouilli prenant les deux valeurs 0 ou 1 avec les probabilités p et .
3. Même question pour une variable aléatoire Gaussienne (on utilisera la fonction randn).

 

N = 10000; % Définition du nombre de réalisations

 

 

%% Loi uniforme

% Génération de valeurs aléatoires (uniforme sur [0, 10])

X = 10 * rand(1, N);

 

% Visualisation

figure(1); % Ouvre une nouvelle figure

plot(X, '.')

title('Visualisation de la variable aléatoire uniforme')

 

% Tracé de l'histogramme

figure(2); % Ouvre une nouvelle figure

histogram(X, 10, 'Normalization', 'pdf')

title('Histogramme de la loi uniforme')

xlabel('Valeur')

ylabel('Densité de probabilité')

 

% Estimation de la moyenne et de la variance

moyenne_X = mean(X);

variance_X = var(X);

 

moy_X = sum(X)/N;

var_X = 1/N * sum((X-moy_X).*(X-moy_X))

var_X = 8.3173

 

% Valeurs théoriques

moyenne_theorique_X = 5;

variance_theorique_X = (10^2) / 12;

 

% Affichage des résultats

fprintf('Loi uniforme : \n');

Loi uniforme :

fprintf('Moyenne estimée = %.2f, Moyenne théorique = %.2f\n', moyenne_X, moyenne_theorique_X);

Moyenne estimée = 4.97, Moyenne théorique = 5.00

fprintf('Variance estimée = %.2f, Variance théorique = %.2f\n', variance_X, variance_theorique_X);

Variance estimée = 8.32, Variance théorique = 8.33

 

 

 

N = 10000; % Définition du nombre de réalisations

 

%% Loi de Bernoulli

p = 0.8;

 

% Génération de valeurs aléatoires

XB = zeros(1, N);

for k = 1:N

tirage = rand;

if tirage < p

XB(1, k) = 1;

end

end

 

% Visualisation des tirages

figure;

plot(XB, '.')

title('Visualisation de la variable aléatoire de Bernoulli')

 

% Tracé de l'histogramme

figure;

histogram(XB, 2, 'Normalization', 'probability') % Deux catégories 0 et 1

title('Histogramme de la loi de Bernoulli')

xlabel('Valeur')

ylabel('Probabilité')

 

% Estimation de la moyenne et comparaison avec la valeur théorique

moyenne_XB = mean(XB);

 

variance_XB = var(XB);

 

 

% Valeurs théoriques

moyenne_theorique_XB = p;

variance_theorique_XB = p * (1 - p);

 

% Affichage des résultats

fprintf('\nLoi de Bernoulli : \n');

Loi de Bernoulli :

fprintf('Moyenne estimée = %.2f, Moyenne théorique = %.2f\n', moyenne_XB, moyenne_theorique_XB);

Moyenne estimée = 0.79, Moyenne théorique = 0.80

fprintf('Variance estimée = %.2f, Variance théorique = %.2f\n', variance_XB, variance_theorique_XB);

Variance estimée = 0.16, Variance théorique = 0.16

 

 

 

 

%% Loi Normale (Gaussienne)

mx = 2; % Moyenne théorique

vx = 4; % Variance théorique

sx = sqrt(vx); % Écart-type

 

% Génération de valeurs aléatoires

XG = mx + sx * randn(1, N);

 

% Visualisation des tirages

figure;

plot(XG, '.')

title('Visualisation de la variable aléatoire Gaussienne')

 

% Tracé de l'histogramme

figure;

histogram(XG, 50, 'Normalization', 'pdf') % 50 intervalles

title('Histogramme de la loi Gaussienne')

xlabel('Valeur')

ylabel('Densité de probabilité')

 

% Estimation de la moyenne et de la variance

moyenne_XG = mean(XG);

variance_XG = var(XG);

 

% Affichage des résultats théoriques

fprintf('\nLoi Gaussienne : \n');

Loi Gaussienne :

fprintf('Moyenne estimée = %.2f, Moyenne théorique = %.2f\n', moyenne_XG, mx);

Moyenne estimée = 1.99, Moyenne théorique = 2.00

fprintf('Variance estimée = %.2f, Variance théorique = %.2f\n', variance_XG, vx);

Variance estimée = 4.06, Variance théorique = 4.00