Hypothèse : ligne sans pertes (pas de \(R'\) ni \(G'\) fournis).
Impédance caractéristique : \(\;Z_0 = 50~\Omega\)
Charge : \(\;Z_L = 12.5 + j\,60~\Omega\)
Longueur : \(\;l = 8~\text{cm} = 0.08~\text{m}\)
Fréquence : \(\;f = 4~\text{GHz}\)
Permittivité relative : \(\;\varepsilon_r = 3.1\)
Formule : \[ \Gamma_L \;=\; \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} \;=\; \frac{(12.5 + j60) - 50}{(12.5 + j60) + 50} \;=\; \frac{-37.5 + j60}{62.5 + j60}. \] Division complexe par la méthode du conjugué : \[ \frac{a + jb}{c + jd} \;=\; \frac{(a+jb)(c-jd)}{c^2 + d^2}, \quad a=-37.5,\; b=60,\; c=62.5,\; d=60. \] Dénominateur : \[ c^2 + d^2 = 62.5^2 + 60^2 = 3906.25 + 3600 = 7506.25. \] Numérateur \((a+jb)(c-jd)\) : \[ \Re = ac + bd = (-37.5)(62.5) + 60\cdot 60 = -2343.75 + 3600 = 1256.25, \] \[ \Im = bc - ad = 60\cdot 62.5 - (-37.5)\cdot 60 = 3750 + 2250 = 6000. \] Donc : \[ \Gamma_L \;=\; \frac{1256.25 + j\,6000}{7506.25} \;\approx\; 0.1673605 \;+\; j\,0.7993339. \] Module et angle : \[ |\Gamma_L| = \sqrt{0.1673605^2 + 0.7993339^2} = \sqrt{0.02800955 + 0.63893467} = \sqrt{0.66694422} \approx 0.8166665, \] \[ \angle \Gamma_L = \arctan\!\left(\frac{0.7993339}{0.1673605}\right) \approx \arctan(4.775) \approx 78.17^\circ. \]
Résultat : \(\;\Gamma_L \approx 0.1674 + j\,0.7993\), \(\;|\Gamma_L|\approx 0.8167\), \(\;\angle \Gamma_L \approx 78.2^\circ\).
\[ \text{ROS} \;=\; \frac{1 + |\Gamma_L|}{1 - |\Gamma_L|} \;=\; \frac{1 + 0.8166665}{1 - 0.8166665} \;=\; \frac{1.8166665}{0.1833335} \;\approx\; 9.9091. \]
Résultat : \(\;\text{ROS} \approx 9.91\).
Pour une ligne sans pertes : \[ \Gamma_{\text{in}} = \Gamma_L\, e^{-j2\beta l}, \qquad \beta = \frac{2\pi}{\lambda},\qquad \lambda = \frac{c}{f\sqrt{\varepsilon_r}}. \] Étapes numériques : \[ \sqrt{\varepsilon_r} = \sqrt{3.1} \approx 1.76068, \qquad v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} \approx \frac{3.00\times 10^8}{1.76068} \approx 1.704\times 10^8~\text{m/s}, \] \[ \lambda = \frac{v}{f} = \frac{1.704\times 10^8}{4.0\times 10^9} \approx 0.042597~\text{m}, \qquad \beta = \frac{2\pi}{\lambda} \approx \frac{2\pi}{0.042597} \approx 147.503~\text{rad/m}, \] \[ \beta l = 147.503 \times 0.08 = 11.8002~\text{rad} \approx 676.10^\circ, \qquad 2\beta l \approx 23.6004~\text{rad} \equiv 272.20^\circ \pmod{360^\circ}. \] Écriture de \(e^{-j2\beta l}\) : \[ e^{-j2\beta l} = \cos(23.6004) - j\sin(23.6004) \approx 0.0384495 + j\,0.9992605. \] Multiplication \((a+jb)(c+jd)\) avec \(a=0.1673605,\, b=0.7993339,\, c=0.0384495,\, d=0.9992605\) : \[ \Gamma_{\text{in}}=(ac - bd) + j(ad + bc). \] Détails : \[ ac = 0.1673605 \times 0.0384495 = 0.0064349,\quad bd = 0.7993339 \times 0.9992605 = 0.7987428, \] \[ ad = 0.1673605 \times 0.9992605 = 0.1672368,\quad bc = 0.7993339 \times 0.0384495 = 0.0307340. \] Donc : \[ \Re\{\Gamma_{\text{in}}\} = ac - bd = 0.0064349 - 0.7987428 = -0.7923079, \] \[ \Im\{\Gamma_{\text{in}}\} = ad + bc = 0.1672368 + 0.0307340 = 0.1979707. \]
Résultat :
\(\;\Gamma_{\text{in}} \approx -0.7923 + j\,0.1980\).
Vérifs :
\(\;|\Gamma_{\text{in}}| \approx 0.8167 = |\Gamma_L|\) (module conservé sur une ligne sans pertes),
\(\;\angle \Gamma_{\text{in}} \approx 166^\circ\).
Remarque : si la ligne avait des pertes (\(\alpha>0\)), on aurait \(\Gamma_{\text{in}} = \Gamma_L e^{-2(\alpha + j\beta)l}\) et donc \(|\Gamma_{\text{in}}| = |\Gamma_L| e^{-2\alpha l} < |\Gamma_L|\).
Définition (rapport à la permittivité du vide) : \[ \varepsilon_r \;=\; \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}, \qquad \varepsilon_0 \simeq 8{,}854\times10^{-12}\;\text{F·m}^{-1}. \]
Permittivité complexe : \[ \varepsilon_c \;=\; \varepsilon' - j\,\varepsilon'' \;=\; \varepsilon'\bigl(1 - j\,\tan\delta\bigr), \qquad \tan(\delta)=\frac{\varepsilon''}{\varepsilon'}. \]
Remarque : \( \varepsilon_r \) et \( \tan(\delta) \) sont légèrement dispersifs : leurs valeurs varient avec la fréquence et la température selon le matériau.
| Matériau / Référence (PCB/Substrat) | εr (typ.) | tan(δ) (typ.) | Commentaires HF | Liens |
|---|---|---|---|---|
| Air | ≈ 1.0006 | ≈ 0 | Référence idéale, quasi sans pertes | Permittivité – Wikipedia |
| PTFE pur (Téflon) | ≈ 2.1–2.2 | ≈ 0.0002–0.0004 | Très faible perte; valeurs peu dispersives en RF | Teflon™ PTFE – Properties Handbook |
| Rogers RT/duroid 5880 (PTFE + fibre) | ≈ 2.20 (±0.02) | ≈ 0.0009 @ 10 GHz | Très bas DF; antennes & micro-ondes exigeantes | Datasheet Rogers 5880 |
| Rogers RO3003 | ≈ 3.00 (±0.04) | ≈ 0.0010–0.0013 @ 10 GHz | Bon compromis pertes/stabilité; jusqu’au mm-wave | Datasheet RO3000 (RO3003) |
| Rogers RO4003C | ≈ 3.38 | ≈ 0.0027 @ 10 GHz | Classique en RF jusqu’aux micro-ondes | Datasheet RO4003C / RO4350B |
| Rogers RO4350B | ≈ 3.48 | ≈ 0.0037 @ 10 GHz | Légèrement plus de pertes que 4003C | Datasheet RO4003C / RO4350B |
| Polyimide (flex, ex. Kapton) | ≈ 3.2–3.5 | ≈ 0.004–0.006 | Circuits flex; pertes modérées | Kapton® HN – Data Sheet |
| FR-4 (ex. Isola 370HR) | ≈ 4.2–4.8 | ≈ 0.015–0.025 @ 10 GHz | Éco, mais peu adapté > 1–2 GHz (pertes élevées, Dk variable) | Isola 370HR – Dk/Df @ 10 GHz |
| SiO₂ (quartz / fused silica) | ≈ 3.8–3.9 | ≈ 1.2�-10−4 @ 8.6 GHz à ≈ 3.3�-10−4 @ 24 GHz | Très faible perte; intégration micro-ondes/optique | Dynasil – Fused Silica Properties |
| Alumine 96–99,6 % | ≈ 9.6–9.9 | ≈ (1–3)�-10−4 (typ., ~1 MHz) | Substrat céramique haute-Q; résonateurs compacts | CoorsTek – Advanced Alumina / Kyocera AO476O (≥96%) |
Notes : pour les matériaux Rogers, Dk/Df sont mesurés via IPC-TM-650 2.5.5.5 ≈ 10 GHz à 23 °C. Les valeurs varient avec la fréquence, l’épaisseur et le tissage verre ; voir les fiches pour les conditions exactes.
Permittivité effective :
\[ \varepsilon_{\mathrm{eff}} = \frac{\varepsilon_r + 1}{2} + \frac{\varepsilon_r - 1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + 12\,H/W}} + \begin{cases} 0.04\,(1 - W/H)^2, & W/H \le 1 \\ 0, & W/H > 1 \end{cases} \right) \]
Impédance caractéristique :
\[ Z_0 = \begin{cases} \dfrac{60}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}} \ln\!\left(8\dfrac{H}{W} + 0.25\dfrac{W}{H}\right), & W/H \le 1, \\[10pt] \dfrac{120\pi}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}\left(\dfrac{W}{H}+1.393+0.667\ln\!\left(\dfrac{W}{H}+1.444\right)\right)}, & W/H > 1. \end{cases} \]
(Corrections d’épaisseur cuivre possibles dans ADS ; ici \(t\) est négligé → écart < 1–2 % typiquement.)
| Élément | Largeur \(W\) (mm) | Longueur \(L\) (mm) | \(W/H\) | \(Z_0\) (Ω) | \( \varepsilon_{\text{eff}} \) |
|---|---|---|---|---|---|
| Entrée / Sortie | 3.20 | 5.00 | 2.000 | 48.89 | 3.3425 |
| L1 | 0.35 | 6.50 | 0.219 | 125.38 | 2.9690 |
| C2 | 10.00 | 7.37 | 6.250 | 21.78 | 3.6948 |
| L3 | 0.35 | 11.00 | 0.219 | 125.38 | 2.9690 |
| C4 | 10.00 | 7.37 | 6.250 | 21.78 | 3.6948 |
| L5 | 0.35 | 6.50 | 0.219 | 125.38 | 2.9690 |
Lecture rapide : lignes fines (0,35 mm) ⇒ haute impédance (~126 Ω, effet inductif série).
Lignes très larges (10 mm) ⇒ basse impédance (~22 Ω, effet capacitif).
Accès 3,2 mm ≈ 50 Ω ⇒ adaptation naturelle des ports.
MSUB (Er=4.4, H=1.6 mm, cuivre standard).MLIN avec les largeurs souhaitées (0.35 / 10 / 3.2 mm) et lire \(Z_0\) et \( \varepsilon_{\text{eff}} \).